Soit \(P_1,\ldots,P_m\) une partition (finie ou non) de \({\Bbb N}\)
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente
Montrer que : $${{\sum^\infty_{n=0}u_n}}={{\sum^m_{j=1}\left[\sum_{k\in P_j} u_k\right]}}$$

Comparaison de suites \(\to\) majoration
1er cas : on a donc \(u_n\geqslant0\) et \(\sum u_n\) convergente
Alors, pour \(P_1\), on a : $$\sum^n_{j=1} u_{k_j}\leqslant\sum^{k_n}_{m=0} u_n\leqslant\sum^{\infty}_{m=0} u_m\lt +\infty$$

Théorème de convergence monotone
\(n\mapsto\sum^n_{j=1}u_{k_j}\) est une suite croissante et majorée, elle est donc convergente

Explication du raisonnement
Soit \(\ell_1=\sum_{j\in P_1}u_j\lt +\infty\)
On veut maintenant montrer que $$\ell_1+\ldots+\ell_n=\sum^\infty_{n=0}u_n$$

Fixation de l'ordre des indices
Dans chaque paquet \(P_j\), on numérote les \(n\) disons par ordre croissant
Alors, pour tout \(P_j\), on a : $$k_1^j\leqslant k_2^j\leqslant\cdots\quad\text{ avec }\quad u_{k^j_1}\in P_j$$

Majoration de la somme en utilisant les indices
On a alors : $$\begin{align}\sum^n_{i=0}\left[\sum_ju_{k_m^j}\right]&\leqslant\sum^{\max(k^j_n)}_{i=0} u_i\\ &\leqslant\sum^\infty_{i=0}u_i\end{align}$$

Réorganiser les indices pour majorer
L'inégalité est donc vraie quand \(n\to+\infty\)
L'égalité est donc vérifiée

$$\sum^n_{k=0}u_k=\sum^m_{j=1}\left[\underset{k\leqslant n}{\sum_{u_k\in P_j}}u_k\right]\leqslant\sum^m_{j=1}\ell_j$$

(Série à termes positifs, Théorème de convergence monotone (suites))